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Sieben wichtige Ergänzungen zur Homepage

Copyright © Dr. Michael Willamowski

Was ist eine physikalische Groesse?

SI- Basiseinheiten

Abgeleitete Einheiten des Internationalen Einheitensystems

Vorsilben fuer Einheiten und deren Bedeutung

Griechische Buchstaben für physikalische Einheiten

Gebraeuchliche mathematische Symbole in der Physik

Arbeit mit dem elektronischen Taschenrechner


Was beinhaltet die Aussage: " Eine Strecke betraegt 100 Meter? " Es geht da um eine Entfernung. Zum Beispiel um die Kurzstrecke in der Leichtathletik. Um noch mehr herauszufinden, schreiben wir folgendes: Die Strecke beträgt Hundert mal 1 Meter. Wie wir wissen, ist der Meter ein Mass für die Länge. Der Meter dient uns also als Vergleichsmass. Er ist die Basiseinheit für die Messung von Längen. In der Physik ist der oder das ( beides richtig ) Meter der Name einer von mehreren Einheiten. Du kannst auch sagen: " der Name einer Grössenart ". Was das Gleiche bedeutet. Neben dem Meter mit dem Einheitenzeichen " m " gibt es noch weitere andere Einheiten ( Basisgrössen ) wie Masse mit dem Einheitenzeichen " kg " für Kilogramm oder die Zeit mit dem Einheitenzeichen " s " für Sekunde. Das alles ist noch gar nicht so schwer. Aber jetzt geht es weiter: 

Wir betrachten nun wieder die obige Gleichung und verändern sie,
 wobei die Aussage gleich bleibt:


 • Länge = 100 mal Meter.

 • Länge = 100 m.

 • l = 100 m.

In dieser letzten Vereinfachung ist " l " das Symbol für Länge. Leider werden in der Physik zusätzlich " s ", " b ", und " h "  und weitere Buchstaben als Symbole für eine Länge benutzt. Und leider bezeichnen einige Physiker das Symbol als Formelzeichen oder sie sagen allgemein nur Grösse. Wir wollen in Bezug auf die Namensgebung bei den Bezeichnungen

• Basiseinheit, Einheitenzeichen
• Name der Einheit und Namensymbol 

bleiben. Damit kommen wir ganz gut zurecht. Das kannst Du in den folgenden Ausführungen nachprüfen.

In der nachfolgenden Tabelle sind die Basisgroeßen der Physik aufgelistet. Das sind die gültigen 7 Einheiten ( SI- Einheiten) des Internationalen Einheitensystems. Sie wurden von der Generalkonferenz für Masse und Gewichte festgelegt und können nicht aus anderen ( einfacheren ) Grössen abgeleitet werden. Sie werden als gegeben hingenommen. Die ersten fünf Basiseinheiten solltest Du Dir vielleicht gut merken. ( Der Einfachheit halber wird in den folgenden Übersichten nicht zwischen Skalaren und Vektoren unterschieden, solche Merkmale für die Einheiten bleiben also bislang unberücksichtigt ).


SI- Basiseinheiten
Name der Einheit und Namensymbol SI- Basiseinheiten und Einheitenzeichen Definition oder Umrechnung
Länge / l, s, h, b, r Meter / m 1 m = 100 cm
Masse / m Kilogramm / kg 1 kg = 1000 g
Zeit / t Sekunde / s 1 h = 60 min ( h = hora = Stunde )
Stromstärke / I Ampere / A 1 A ≈ 10¹⁸ Elektronen pro Sekunde
Temperatur / T Kelvin / K 0 K = - 273 Celsius
Lichtstärke / lv Candela / cd 1 cd
Stoffmenge / n Mol / mol 1 mol ≈ 6 × 10²³  Teilchen


Aus den SI- Basisgrössen lassen sich viele andere Grössen wie die " abgeleiteten Einheiten des Internationalen Einheitensystems " in der nächsten Tabelle entwickeln.
                                            


Abgeleitete Einheiten des Internationalen Einheitensystems
Name der abgeleiteten Einheit und Namensymbol
Definitionsgleichung Abgeleitete Einheit, Einheitenname, Einheitenzeichen
Geschwindigkeit / v v = Wegänderung durch Zeit m s-¹
Beschleunigung / a
a = Geschwindigkeitsänderung durch Zeit m s-²
Kraft / F F = Masse mal Beschleunigung kg m s-²          Newton / N
Arbeit / W W = Kraft mal Weg N m                Joule / J
Energie / E ( mechanische ) E = Kraft mal Weg ( Arbeit in gespeicherter Form ) N m                Joule / J
Leistung / P (mechanische ) P = Arbeit durch Zeit J s-¹                Watt / W
Fläche / A Abhängig von der Form
Volumen / V Abhängig von der Form
Dichte / ρ ( Rho ) ρ = Masse durch Volumen kg m₋³
Druck / ( p ) p = Kraft durch Fläche N m₋²             Pascal / Pa
Periode / T Zeit für eine Schwingung
Frequenz / f oder ν ( Ny ) f = 1/T ( Zahl der Schwingungen pro Sekunde) s₋¹                  Hertz / Hz
Impuls Impuls = Masse mal Geschwindigkeit kg m s₋¹
Konzentration / c c = Stoffmenge durch Volumen mol m₋³
Elektrische Ladung / Q Q = Stromstärke mal Zeit A s                 Coulomb / Q
Elektrische Spannung / V (Potentialdifferenz ) V = Elektrische Energie durch elektrische Ladung J C-¹              Volt / V
Kapazität / C C = Ladung durch Potentialdifferenz C V-¹
Widerstand / R R = Potentialdifferenz ( Spannung ) durch Stromstärke V A-¹             Ohm / Ω
Drehmoment / M M = Angreifende Kraft mal Abstand der Wirkungslinie N m
Wärmemenge / Q Q = Spezifische Wärmekapazität mal Temperaturdifferenz W s                 Joule / J
Fallbeschleunigung / g g = Fallgeschwindigkeit durch Fallzeit ( g = 9,81 m s-²)
Leistung / P ( elektrische ) P = Verrichtete elektrische Arbeit pro Zeit kg m² s-³         Watt / W
Induktivität / L L = Induzierte Spannung durch Stromstärkenänderung V s A-¹           Henry / H

Zu den abgeleiteten Grössen gehören z. B. Kraft, Geschwindigkeit und Beschleunigung. Die Beschleunigung ergibt sich aus dem Quotienten von Länge einer Strecke und dem Quadrat der Zeit. Die Einheit der Beschleunigung wird in Meter pro Sekundenquadrat ausgedrückt.                                                       Alle oben beschriebenen physikalischen Einheiten werden zum Messen benutzt. Und sie werden in den meisten Ländern der Welt eingesetzt. Bei den Experimenten der Forscher können nun sehr kleine und sehr grosse Masszahlen auftreten. So beträgt die Zeit, in der das Licht einen Meter zurücklegt sage und schreibe:

3 mal 0,000 000 001 Sekunden 

Du wirst vermuten, dass es umständlich wäre mit Zahlen in dieser Schreibweise zu rechnen. Sie sind zu klein oder zu groß, -- sie sind auch schwer zu lesen. Deshalb verwendet man für derartige Zahlen die Dir bereits bekannte Potenzschreibweise. Dabei wird die Stellung des Dezimalpunkts durch eine Potenz von 10 dargestellt. Das sieht schon besser aus. Für das obige Beispiel ergibt sich dann:

                                                                                                  => 3 mal 10 -⁹ Sekunden

Wie Du weisst, bedeutet der negative Index " Eins durch...",

                                                                also " 10-² = 1 durch 10 ² "-- und das ist nichts weiter als " 1 durch Hundert "

Die Physiker gehen noch einen Schritt weiter, ihnen ist es auch zur Gewohnheit geworden Einheitenvorsätze zu benutzen. Mit Einheitenvorsilben oder Einheitenvorsätzen werden, wie " gesagt " dezimale ( zehnfache ) Vielfache und dezimale ( zehnfache ) Teile von SI- Einheiten gebildet. Wir setzen Vorsätze vor die Namen der Einheiten. Zu jedem Vorsatz gibt es ein Vorsatzzeichen, etwa " M " für Mega ( 10 ⁶ ), aber es darf je Einheit nicht mehr als ein Vorsatz verwendet werden. Für ganze " 1000 Volt " schreiben wir also einfach " ein Kilovolt " ( KV ). Und damit Dir alles noch einleuchtender und klarer wird, kannst Du aus der nächsten Tabelle nicht nur Vorsilben für Vielfache und Teile von diversen Einheiten ersehen, Du wirst wahrscheinlich auch über die dazugehörigen Beispiele verblüfft sein.

                                                 Vorsaetze fuer Vielfache und Teile von Einheiten

Vorsatz bzw. Vorsilbe mit Kurzzeichen und Bedeutung Beispiel für Vorsätze von Masszahlen
Atto / a / 10-¹⁸ 1 aWs ( Attowattsekunde) Grenze der Lichtempfindlichkeit Deines Auges
Femto / f / 10-¹⁵ 1 fm (  Femtometer ) "Größe" von Protonen und Neutronen
piko / p / 10-¹² 100 pK ( Pikokelvin ) Tiefste im Labor je erreichte Temperatur
Nano / n / 10-⁹ 3 ns ( Nanosekunden ) Zeit, in der das Licht einen Meter zurücklegt
Mikro /µ / 10-⁶ 1 µm ( Mikrometer ) etwa die Länge einer Bakterie
Milli / m / 10-³ 55 mbar ( Millibar ) etwa der Luftdruck in 20 Kilometer Höhe über der Erde
Zenti / c / 10-² 2 cs ( Centisekunden ) das entspricht einer Kameraverschlusszeit
Dezi / d / 10-¹ 1 dm  ( Dezimeter ) das ist etwa die Länge Deines Handys ( 10 cm )
Deka / dam / 10¹ 1 dam ( Dekajoule ) ist die kinetische Energie eines fliegenden Golfballs
Hekto / hl / 10² 1 hPa ( Hektopascal ) entspricht einem Millibar ( hPa Einheit für Barometer- Skala )
Kilo / k / 10³ 1 kg ( Kilogramm ) sind 1000 Gramm, so viel wiegt ein Päckchen Mehl
Mega / M / 10⁶ 6,3 Mm ( Megameter ) Erdradius und 1,7 Mm Mondradius
94,2 Mhz ( Megahertz ) sind 94,2 mal 10 ⁶ Hertz
Giga / G / 10⁹ 1 GJ ( Gigajoule ), ein Blitz setzt etwa so viel Energie um
Tera / T / 10¹² 9,46 Tkm ( Terakilometer ) ist die Länge eines Lichtjahres
Peta / P / 10¹⁵ 1 Pm ( Petameter ), diesen Weg legt das Licht in einem Monat zurück

Am Anfang dieses Kapitels haben wir uns mit einem wichtigen Längenmass, dem Meter, befasst. Der oder das Meter ist die SI- Einheit der Länge. Früher gab es für die Länge verschiedene Maßeinheiten, die je nach Land unterschiedlich waren. In der Physik wird heute weltweit meist jedoch nur noch die Einheit Meter verwendet. Für verschiedene Messobjekte bietet es sich allerdings an, einen Bruchteil oder ein Vielfaches einer Maßeinheit einzusetzen. Es wurde, wie wir schon wissen, eine zehnfache ( dezimale ) Vervielfachung und Unterteilung des Meters festgelegt. Als Bruchteile des Meters verwenden wir das Zentimeter ( cm ) und das Millimeter ( mm ). Eine Übersicht für die genannten Zusammenhänge findest Du in der nächsten Tabelle. ( Nach Belieben könntest Du ähnliche Tabellen auch für andere Einheiten wie für Zeitmaße, Flächenmaße, Raummaße und Massen selbst erstellen ).                                                                                                                                                              

 Vielfache und Teile des Meters        
km m dm cm mm
1 10³ 10⁴ 10⁵ 10⁶
10-³ 1 10 10² 10³
10-⁴ 10-¹ 1 10 10²
10-⁵ 10-² 10-¹ 1 10
10-⁶ 10-³ 10-² 10-¹ 1

( Bekanntlich gilt 10⁰ = 1 )

Leider gibt es auch hier wieder Besonderheiten, auf welche wir jetzt hinweisen.
Die Physiker benutzen nämlich für sehr kleine Längen typische Einheiten mit eigenen Namen.

Das Ångström wird in der Optik benutzt. 1 Å = 10 -⁸ cm.

Für Röntgenstrahlen und Gammastrahlen wird bisweilen die X- Einheit angewendet:
1 X = 10 -¹¹ cm
.

Dein Optiker gibt für Linsen statt der Brennweite die Stärke der Brechkraft an. Wird die Brennweite in Metern ( m ) gemessen, so gilt für die Stärke der Brechkraft der Kehrwert der Brennweite. Diese wird Dioptrie ( m -¹ ) genannt. Eine Linse mit z. B. 25 cm Brennweite hat demnach eine Stärke von 4 Dioptrien ( " 1 geteilt durch 0,25 " ). Sammellinsen haben positive, Zerstreuungslinsen negative Stärken oder Dioptrien.


Dir ist sicher das deutsche Alphabet mit seinen lateinischen Großbuchstaben und Kleinbuchstaben vertraut. Du weißt auch, dass durch ein Alphabet die Reihenfolge der Buchstaben einer Sprache bestimmt wird. Wir nennen es das " Abc.. ". So liegt es nahe, die lateinischen Buchstaben zur Kennzeichnung von physikalischen Grössen heranzuziehen. Das ist im Allgemeinen der Fall. So steht das kleine " a " für Beschleunigung, das große  " F " für Kraft, das kleine " l " für Länge und das große " V " für Volumen. Das " a " von Beschleunigung rührt vom englischsprachigen " acceleration " her, das " F " wird sich vom englischen " force " ableiten. Solches soll uns nicht weiter stören. Auch die Doppeldeutigkeit von klein " m " als Längenmass für Meter und als Namensymbol für die Einheit Kilogramm nehmen wir in Kauf. Auch wenn das nicht die einzigen "Doppeldeutigkeiten" oder "Vieldeutigkeiten" in der Physik sind.
Beim Studium physikalischer Erscheinungen in der unbelebten Natur tauchen aber auch Zeichen auf, die uns das Leben schwer machen. Diese haben nichts mit der eigentlichen Physik zu tun. Sie sind uns normalerweise nicht vertraut, manchmal wissen wir beim Aussprechen auch nicht, "wo da die Betonung liegt". Sie werden aber weltweit benutzt. Deshalb werden wir uns hier und jetzt mit ihnen beschäftigen. Wie Du vielleicht schon geahnt hast, es handelt sich um die griechischen Buchstaben.
In der nächsten Tabelle sind die Zeichen zusammengefaßt, die Dir wahrscheinlich in den Klassen 7 bis 10 begegnen werden. Wir kommen immerhin auf zwölf griechische Buchstaben für naturwissenschaftliche Gegebenheiten. Vermutlich werden später noch einige hinzugefügt werden ( müssen ). Das hängt vom weiteren Fortschritt der vorliegenden Homepage ab.                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                 

Bedeutungen von griechischen Buchstaben in der Physik
α ( Alpha ) Formelzeichen für den linearen und den allgemeinen thermischen Ausdehnungskoeffizienten,
Physikalisches Symbol für das Alphateilchen
β ( Beta ) Physikalisches Symbol für das Betateilchen
γ ( Gamma ) Physikalisches Symbol für die Gammastrahlung,
Formelzeichen für die Raumausdehnungszahl,
Formelzeichen für die Wichte
Δ ( Delta, groß ) Formelzeichen für eine endliche Änderung
δ ( Delta, klein )
η ( Eta ) / ( gesprochen: e lang ) Formelzeichen für den Wirkungsgrad,
Formelzeichen für die Viskosität
λ ( Lambda ) Formelzeichen für die Wellenlänge
μ ( My ) / (gesprochen: mü ) Abkürzung für die Vorsilbe Mikro- bei Einheiten ( Millionstel = 10-⁶ fach )
Formelzeichen für die Reibungszahl
ν ( Ny ) / (gesprochen: nü ) Formelzeichen für die Frequenz
π ( Pi ) Formelzeichen für die Kreiszahl, π = 3,14...
ρ ( Rho ) Formelzeichen für die Dichte,
Formelzeichen für den spezifischen Widerstand
σ ( Sigma ) Formelzeichen für den Koeffizienten der Oberflächenspannung
Ω ( Omega, groß ) / ( gesprochen: o lang ) Einheitenzeichen für die Einheit " Ohm " des elektrischen Widerstands
ω  ( Omega, klein ) / ( gesprochen: o lang ) Formelzeichen für die Winkelgeschwindigkeit


 
Nicht weniger weittragend wie die griechischen Buchstaben sind die mathematischen Symbole. Beim Studium der mathematischen Symbole triffst Du auf Zahlen, geometrische Zeichen und Symbole aus der Logik und der Mengenlehre. Diese "Sinnbilder" werden Dir anfangs die Arbeit etwas erschweren. Wenn Du Dich aber erst einmal an sie gewöhnt hast, bieten sie Dir enorme Vorteile. Lerne sie jetzt und heute!
Diese mathematischen Symbole entwickelten sich etwa vom 16. Jahrhundert an und trugen zum schnelleren Fortschritt der modernen Mathematik bei. Wegen ihrer Nützlichkeit sind sie international anerkannt und im Gebrauch. Für die Schulphysik bis zur 10. Klasse sind einige davon besonders empfehlenswert. Diese sind in der nächsten Tabelle in einer alphabetischen Reihenfolge aufgelistet. Der Sinn der Zeichen wird erläutert und ihre Bedeutung wird kurz beschrieben.


Der absolute Betrag von ( Vektor ) ā ergibt sich zu  "| ā |" = a. In der Physik kennzeichnet der Betrag des Kraftvektors die Größe einer Kraftwirkung. Du kannst Dir darunter die Länge des Vektors ( ohne eine vorgegebene Richtung ) vorstellen. Man nennt die Länge dann einen Skalar. -- In der Mathematik beschreibt der absolute Betrag den Wert einer Größe ungeachtet ihres Vorzeichens. Zahlen, die sich nur durch ihr Vorzeichen unterscheiden, haben demnach den gleichen absoluten Betrag.
Jeder Punkt in einem zweidimensionalen kartesischen Koordinatensystem erhält durch die Werte "x" und "y" eine eindeutige Adresse wie für ( 3/4 ) zuerst x, dann y.

Beziehungen ( Relationen ) zwischen Zahlen oder allgemein Objekten:


Gleichheitszeichen: " = ". Grösser als: " > ".

Kleiner als: " < ". Parallel zu: " | | ".

Rechtwinklig zu: " ⊥ " ( senkrecht auf ). Zeichen für ungleich: " ≠ "

Fast gleich " ≈ "

Ein zusätzlicher Hinweis für das Gleichheitszeichen " = ": 

1. Steht das Gleichheitszeichen " = " zwischen zwei Vektoren, so stimmen beide Vektoren in Grösse und Richtung überein.
2. In der Algebra verbindet das Symbol " = " zwei Seiten einer Gleichung, die in mathematischer Beziehung zueinander stehen wie für " 2x + y = 8. "                  Das Wort " gleich " kann sich also auf sehr unterschiedliche Gegebenheiten beziehen.            

Der griechische Grossbuchstabe Delta "∆" gilt als mathematisches Symbol für eine endliche Änderung wie bei "∆" T für Temperatur 2 (  Endtemperatur ) - Temperatur 1 ( Anfangstemperatur ) bei Körpern mit zwei unterschiedlichen Temperaturen.
Ein Dreieck mit den Eckpunkten A, B, C wird mit "∆" ABC bezeichnet, die den Eckpunkten gegenüber liegenden Seiten mit a, b, und c. Die Winkel "≮"
des Dreiecks heissen Alpha α , Beta β und Gamma γ. Sie ergeben zusammengezählt 180 Grad.
Der Durchmesser ( d ) mit dem Zeichen "" ist eine durch den Mittelpunkt z. B. eines Kreises verlaufende Sehne. Er ist doppelt so lang wie der Radius " r ".
Eine irrationale Zahl, die zu den reellen Zahlen gehört und mit " e " bezeichnet wird, nennt sich Eulersche Zahl. Sie ist eine Konstante, eine unveränderliche Zahl. Sie spielt beim Wachstum in der Natur eine Rolle. Der radioaktive Zerfall kann auch mit ihr beschrieben werden.
Aus einem Punkt entsteht eine Gerade " / ", wenn Du ihn in eine Richtung verlängerst. Eine gerichtete Gerade wird zu einem Strahl oder Zeiger.

  
              
             

Mathematische Zeichen für bekannte und unbekannte Grössen: " a " und " b " stehen ( gemäß der Gepflogenheit ) meist stellvertretend für bereits bekannte Grössen.

" x " und " y " stehen meist stellvertretend für anfangs unbekannte Grössen. Das " x " kann auch eine unabhängige Variable sein, dann ist " y " die abhängige Variable.

     

 Zu den Grundrechnungsarten gehören: Das Zusammenzählen ( Addieren ) " + ". Dabei wird etwas vermehrt.

Das Abziehen ( Subtrahieren ) " - ". Dabei wird etwas weniger. -- Beide nennen sich " Strichoperatoren " und das Rechnen mit ihnen "Strichrechnung".

Beim Vervielfachen ( Multiplizieren ) " · " oder " x " oder auch " * " entsteht ein grösseres Produkt.

Beim Teilen ( Dividieren ) " : " oder " / " wird eine Zahl durch eine andere geteilt. So entsteht ein Bruch.
Eine Division durch Null ist nicht möglich.

Zur Unterscheidung von veränderlichen ( variablen ) Elementen derselben Art dient ein Index wie ein Dach und Oberstrich bei " â " und " ā " oder ( bei mehreren Elementen ) eine kleine natürliche Zahl unten rechts  ( 1, 2, 3...) wie für  A₁,  A₂,  A₃...  

Was in Klammern (.. )  steht wird zuerst addiert, subtrahiert, multipliziert oder dividiert. Erst dann folgen Punktrechnung und danach Strichrechnung.
Ein Radius ( r ) rotiert um seinen Endpunkt, so entsteht ein Kreis " ☉ ".               
Grundzahl ( Basis ) der natürlichen Logarithmen ist die oben erwähnte Eulersche Zahl " e ".
My ( µ ) ist das Vorsatz- Zeichen für Mikro, ein Vorsatz z. B. vor Einheiten für den Faktor 10 hoch minus 6 ( millionstel ) = 10-⁶.

Algebraisch betrachtet kommt Null " 0 " heraus, wenn Du eine Zahl von sich selbst abziehst. Weiterhin bleibt beim Zusammenzählen eine Null unberücksichtigt.-     

Geometrisch ist Null der Schnittpunkt von x- Achse und y- Achse in einem kartesischen Koordinatensystem, und die Stelle dort heißt Ursprung oder Nullpunkt.

Die Zahl Pi " π " multipliziert mit dem doppelten Radius eines Kreises ergibt den Umfang des Kreises ( U = 2 π r ).

Nenne eine platzsparende Schreibweise für grosse Zahlen ? - Antwort ( entsprechend den bisherigen Ausführungen ): Die Zehnerpotenzen, die Potenzen zur Grundzahl 10 wie für " 10 hoch 3 = 1000 ".

Prozent " % " ist ganz simpel und heisst einfach " geteilt durch Hundert " wie " 2 % = 2 / 100 ".

So ergibt sich für 2 % von 64 ein Wert von 1,28.

Das folgt aus der Beziehung: 2 / 100 = x / 64, wie sich der genannte Wert errechnet.

Promille heißt je Tausend mit dem Zeichen " ‰ ". 

Der mathematische Punkt " · " ist ohne Ausdehnung. Er hat die Dimension Null.

Rechenzeichen ausser den Grundrechenzeichen ( wie gehabt ) von oben:  
Potenzzeichen ³ zum Bilden von Potenzen ( im Beispiel " hoch 3 " )
Wurzelzeichen ∛ zum Ziehen von Wurzeln ( hier im Beispiel " Wurzel 3 = Kubikwurzel " )

Der Sinus von Winkel " ≮ " Alpha " α " ergibt sich zu Gegenkathete geteilt durch Hypotenuse im rechtwinkligen Dreieck, weil die Hypotenuse im Einheitskreis den Wert Eins hat. 
Beispiele: Sinus 0 Grad = 0,

Sinus 30 Grad = ½,

Sinus 45 Grad = ½√ 2 = √½ (= 0,7 ),

Sinus 90 Grad = 1.

AB mit einem Strich darüber wird Strecke genannt.
Und so weiter "..." zeigt Dir wie im folgenden Beispiel an, dass z. B. Pi " π " = 3,14159265...ein unendlicher Dezimalbruch ist. Meist genügt " π = 3,14.." bzw. " π = 3,14 " für Deine Rechnungen.
Schnell noch ein Hinweis zum Runden ( Aufrunden und Abrunden ) von Konstanten und Meßergebnissen: Die erste wegzulassende Stelle bei Dezimalbrüchen entscheidet, ob aufgerundet oder abgerundet wird. Ist sie 0, 1, 2, 3, oder 4, so wird abgerundet. Ist sie 5, 6, 7, 8 oder 9, so wird aufgerundet. Das spielt beim sinnvollen Einsatz von elektronischen Taschenrechnern eine wichtige Rolle.
Das Zeichen für unendlich ist eine liegende Acht " ∞ ".

Es gibt unendlich viele ganze Zahlen; denn zu jeder beliebigen Menge kannst Du Dir noch eine ganze Zahl hinzu denken. -- Die x- Achse des kartesischen Koordinatensystems ist in jeder Richtung unendlich ( sowohl plus unendlich wie minus unendlich ).
Als Symbole für Variable ( Veränderliche ) dienen Buchstaben. Sie sind als Platzhalter für Werte wie Zahlen oder Punkte im Einsatz. Die Werte werden einem ausgewählten Definitionsbereich entnommen.
Jede beliebige ebene Figur mit vier Eckpunkten heisst Viereck.
Einen Winkel " ≮ " bilden zwei Strahlen, die von demselben Punkt ausgehen. Kleinere Winkel heissen spitze Winkel, grössere Winkel heissen stumpfe Winkel.

Zahlenarten oder Zahlenmengen:

Natürliche Zahlen "N" sind alle positiven, ganzen Zahlen. Vor denen steht ein Plus, das Du aber weglassen kannst.

Ganze Zahlen "Z" sind alle positiven und negativen ganzen Zahlen. Diese werden üblicherweise in der Physik als Skalen-Massstab für Diagramme eingesetzt.

Rationale Zahlen "Q" besitzen eine endliche oder positive Bruchdarstellung bzw. Dezimaldarstellung.

Reelle Zahlen "R" können in jeder Form als Dezimalbruch dargestellt werden. Mit diesen reellen Zahlen rechnet der Taschenrechner.

Zuordnung ( Implikation ) nennt sich eine logische Verknüpfung zweier Aussagen A und B in der Mathematik, wie bei A => B, was  " aus A folgt B " bedeutet.

In der Elektrotechnik können "Zuordnungen" der folgenden Form im Sinne von Umwandlungen auftreten.


E ( elektrisch ) => E (thermisch ), das heisst elektrische Energie wird in thermische Energie umgewandelt wie beim Ohmschen Widerstand für Strom in einem Leiter.

E ( elektrisch ) <=> E ( magnetisches Feld ), das heisst elektrische Energie wird in Energie des magnetischen Feldes umgewandelt und umgekehrt, magnetische Energie wird in elektrische umgewandelt. So etwas erfolgt bei der Selbstinduktion von Spulen.


 Grundlegende Hinweise zur Arbeit mit elektronischen Taschenrechnern

Wir beginnen mit einer Übung für das Eingeben von Zahlen in den elektronischen Taschenrechner.

Auf dem Taschenrechner wird ein Dezimalpunkt(dot=Punkt) anstelle des geläufigen Dezimalkommas genutzt!
Die Tasten "C" und "CE" dienen zum Löschen der Eingaben. Clear ist englisch und heisst löschen.
Wird der Bereich der reellen Zahlen verlassen, so erscheint die Anzeige "Error".
Wird die Kapazität des Rechners überschritten, so erscheint die Anzeige "Infinity" ( ∞ ).
Der gern online zu Deiner Verfügung gestellte elektronische Taschenrechner ist für Demonstrationszwecke und zum Üben gedacht. Für jederzeit fehlerfreie Berechnungen wird keine Garantie und Haftung übernommen!

Zahl Tastenfolge Anzeige
7,02 7 . 02 7.02
- 4,85 4 . 85 +/- - 4.85
- 0,084  . 084 +/- - 0.084
1/3 3 1/x 0.33...
1/0,25  . 25 1/x 4
7 ³ 7 x ³ 343
 - 7 ³ 7 +/- x ³ - 343
6 ² 6 x ² 36
2 ⁶ 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 64
√ 81 81 Sqr (square) 9
√ 0,196 .196 Sqr 0.44
√36+13 36 + 13 = Sqr 7
√ - 9 9 +/- Sqr #Error#  Error=Fehler
6 ! (1*2*3*4*5*6) 6 x! 720 Dezimaldarstellung
10 ! (1*2*3*4...     *10) 10! 3 628 800 Dezimaldarstellung
100 ! (1*2*3*4...   *100) 100 x! 9.33 e ⁺¹⁵  exponenzielle Schreibweise
200 ! (1*2*3*4...   *200) 200 x! Infinity  Infinity=unendliche Größe
29 (Dezimalzahl) 29 bin 11101 (Dualzahl)
874 (Dezimalzahl) 874 hex 34A (Hexadezimalzahl)
sin 0 ° (∡-argument: Deg) 0 sin 0
cos 0 ° (∡-argument: Deg) 0 cos 1

 


 Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division mit dem Taschenrechner

Rechts siehst Du auf dem Taschenrechner die Zahlentasten 0 bis 9, die auch Zifferntasten genannt werden. Ganz unten erkennst Du die arithmetischen Operationstasten: -, +, /, * unten links ist die Ergebnistaste = besonders deutlich zu sehen. So kannst Du die Zahl "2" das Operationszeichen "+" und die Zahl "3" eintippen und die Ergebnistaste "=" drücken. Oben in der Zahlenanzeige, die auch Display genannt wird, erscheint eine "5" als Ergebnis. Du hast Deine erste Rechnung durchgeführt. Damit hast Du zwei natürliche Zahlen addiert. Die Addition ist eine von vier Grundrechenarten. Das Operationszeichen für die Addition +  können wir auch "plus" nennen. Die Addition von zwei natürlichen Zahlen ergibt immer eine dritte natürliche Zahl. In unserem Beispiel die Zahl 5. Du kannst auch die Zahlen 2 und 3 vertauschen, das ändert an dem Ergebnis 5 nichts, denn es gilt auch
 "3" + "2" = "5".
 Ganz merkwürdig ist noch die Ziffer 0. Du kannst die Null zu allen Zahlen addieren, ohne dass sich der Wert der Zahl ändert. Also
"7" + "0" = "7".


Das Abziehen, genannt Subtraktion, gehört ebenfalls zu den Grundrechenarten. Das Operationszeichen der Subtraktion ist "-". Wir können auch "minus" dazu sagen. Die Subtraktion verläuft umgekehrt wie die Addition. Für eine Subtraktion gilt: 
"9" - "4" = "5",

was jeder weiß und wir mit dem Taschenrechner bestätigen. Alle natürlichen Zahlen sind positive Zahlen, die größer als Null sind. 

Der Zahlenpfeil für die ganzen ZahlenAnschaulich lassen sich Zahlen am Zahlenpfeil darstellen. Damit wird alles deutlicher. So hat jede Zahl, die rechts vom Nullpunkt liegt, ein Spiegelbild auf der linken Seite vom Nullpunkt. Auf diese Weise sind diese Zahlen auch geordnet. 
In der Abbildung kann man das durch das mathematische Symbol "<" veranschaulichen, welches "kleiner als" bedeutet: -2<-1<0<+1<+2<+3 und so weiter.
Bei einer Subtraktion dürfen beide Zahlen nicht vertauscht werden:

"4" - "9" =  "-5"

ergibt als Ergebnis, wie zu sehen, "-5". Das Ergebnis dieser Subtraktion ist keine natürliche Zahl mehr. Die natürlichen Zahlen lassen sich durch die negativen Zahlen erweitern. Auf dem Zahlenstrahl unserer Abbildung liegen alle negativen Zahlen links von der Null. Alle negativen Zahlen sind kleiner als Null. Sie haben alle das Vorzeichen "-". Auch positive Zahlen haben ein Vorzeichen, nämlich ein "+". Dieses Vorzeichen kannst Du aber weglassen. Die positiven Zahlen und die negativen Zahlen ergeben zusammen mit der Null die Menge der ganzen Zahlen. Nach dieser Definition gilt die Null als ganze Zahl. Unser Fazit zum Schluss: Auf einem Zahlenstrahl lassen sich alle ganzen Zahlen abbilden.


Die Multiplikation gehört auch zu den Grundrechenarten. Das Operationszeichen der Multiplikation ist der Punkt , oder der Stern *, oder das Kreuz x. Auf unserem Rechner ist es der Stern *. Alle drei Zeichen werden "mal" genannt. Die Multiplikation von zwei natürlichen Zahlen ergibt eine dritte natürliche Zahl. Solche mathematische Operation ist immer durchführbar, wie für 
"2" * "4" = "8".

Du kannst die beiden Zahlen vertauschen. Das Ergebnis ist ebenfalls 8. Werden mehr als zwei Zahlen multipliziert, spielt die Reihenfolge der Multiplikation keine Rolle, hier gilt:
"3" * "5" * "7" = "7" * "3" * "5" = "105".

Die Eins und die Null haben bei der Multiplikation eine besondere Aufgabe. Du kannst alle Zahlen mit Eins multiplizieren, ohne dass der Wert der Zahl verändert wird: 
"35" * "1" = "1" * "35" = "35".

Wenn Du irgendeine Zahl mit Null  multiplizierst, erhälst Du als Ergebnis wieder Null:
"57" * "0" = "0".

Probier das an unserem Taschenrechner doch gleich einmal aus!

Neben der Addition, der Subtraktion und der Multiplikation gehört auch die Division zu den vier Grundrechenarten. Das Operationszeichen der Division ist ":" oder "/". Die Division wird "teilen" oder "geteilt durch" genannt. Auf manchen Taschenrechnern kann eine Division auch durch weitere seltenere Zeichen dargestellt sein. Division und Multiplikation sind entgegengesetzt zueinander. Die Multiplikation kann durch eine Division rückgängig gemacht werden:
"7" * "9" = "63"
"63" / "7" = "9".

Eine Division lässt sich, wie auch eine Subtraktion, nicht in jedem Fall ausführen. Die Aufgabe 
"17 / "3"   ???

hat im Bereich der natürlichen Zahlen keine Lösung. Weitere Überlegungen zu dieser Aufgabe erfolgen später im Text.
Wie schon bei der Subtraktion darfst Du die Reihenfolge der Werte in den Divisions-Aufgaben nicht vertauschen. Es käme ein anderes Ergebnis heraus. Auch bei der Division hat die Null eine Besonderheit. Durch Null darf nämlich nicht dividiert werden. Für die Aufgabe
"6" / "0" ???

zeigt Dein Taschenrechner einen Fehler an. Das kann in Form von "E" oder "#Error#" geschehen. "E" ist hier die Abkürzung für das englische Wort Error(Fehler).


Natürlich wollen wir auch Rechnungen durchführen, bei denen mehrere Grundrechenarten gemeinsam vorkommen, wie in
"3" + "6" / "2".

Gehst Du, wie beim Lesen, von links nach rechts vor und führst zuerst die Addition und dann die Division durch, so erhälst Du 4,5 als Ergebnis. Rechnest Du jedoch zuerst die Division aus und dann die Addition, so erhälst Du 6 als Ergebnis. Daraus folgt, dass die Reihenfolge der Berechnungen nicht gleichgültig ist. Man konnte sich darauf einigen, bei derartigen Rechnungen Multiplikation und Division vor Addition und Subtraktion durchzuführen. Hier gilt kurz gesagt der berühmte Satz: "Punktrechnung (• und :) geht vor Strichrechnung (+ und -)". Wir erinnern nochmal daran, dass für die Grundrechenarten sehr unterschiedliche mathematische Symbole benutzt werden. Im obigen Beispiel ist also allein
"3" + "6" / "2" = "6" 

ein richtiges Ergebnis. Diesen Betrag erhälst Du, wenn Du zuerst 6 / 2 in die Tastatur des Rechners eintippst und dann 3 dazu zählst. Also Punktrechnung vor Strichrechnung!


In diesem Abschnitt widmen wir uns der Speicherrechnung. Das sind Berechnungen unter Einsatz des Speichers im elektronischen Taschenrechner. Da sind die Speichertasten "M+" und "MR" rechts unten auf dem Rechner gefragt. Diese Speichertasten helfen bei der Aufbewahrung von Zwischenergebnissen im Taschenrechner und zur späteren Weiterverarbeitung. Durch Drücken der Taste M+ wird die Zahl auf dem Display in den Speicher geladen. Durch Drücken der Taste MR erfolgt ein Rückruf aus dem Speicher in das Eingaberegister. Um das alles zu veranschaulichen wählen wir folgendes Beispiel:
(5 * 2) + (6 * 3) - (2 * 4) = 20

Eingabe: "5" * "2" = "10" "M+"
Eingabe: "6" * "3" = "18" "M+"
Eingabe: "2" * "4" = "8" +/- "M+".
Eingabe: "MR"

Hast Du auch nach jedem Schritt die Ergebnistaste = gedrückt?
Beim Abziehen einer Zahl vom Speicher wird zuerst die Taste +/- und dann die Taste M+ gedrückt. Das Endergebnis erhälst Du durch Drücken von MR.
Zur Übung hier noch eine zweite Aufgabe, die ähnlich gelöst wird:
0,5 * 0,2 + 0,6 * 0,3 - 0,2 * 0,4 = 0,20

Der Bereich der ganzen Zahlen ist abgeschlossen bezüglich der Subtraktion. Allerdings ist eine Division mit den ganzen Zahlen nicht immer möglich. Die Zahlenmenge lässt sich aber wiederum erweitern, so dass sie auch in Bezug auf die Division abgeschlossen ist. Das gelingt durch Einführen von Brüchen. Auch Bruchzahlen lassen sich auf dem uns schon bekannten Zahlenpfeil darstellen. Jene Brüche, deren Werte keine ganzen Zahlen bilden, liegen auf dem Zahlenstrahl zwischen den ganzen Zahlen. Also zwischen -1 und 0, 0 und +1, +2 und +3 und so weiter.
Anordnung von Brüchen auf dem Zahlenstrahl

Alle Bruchzahlen zusammen bilden die Menge der rationalen Zahlen. Man sagt dazu auch: Die rationalen Zahlen bilden eine Obermenge der ganzen Zahlen. Schauen wir uns nun die Brüche näher an. Was sind Brüche? "1/2", "1/3", "1/4" ...(und so weiter) sind Brüche. Du kannst "1/2" als "1" durch "2" oder ein halb lesen. Der Bruchstrich wirkt hier wie ein Divisionszeichen. Die "1" heißt dabei Zähler und die "2" heißt Nenner des Bruchs. Wenn entweder der Zähler oder der Nenner negativ ist, so ist der gesamte Bruch negativ:

                     -1/3 = 1/-3 = - 1/3

Sind sowohl der Zähler wie auch der Nenner negativ, so ist der gesamte Bruch wieder positiv!

                  -1/-4 = 1/4.


Das Dezimalsystem, oder auch Zehnersystem genannt, ist das heute überall gebräuchliche Zahlensystem. Es beruht auf der Grundzahl 10 und somit auf den Zehnerpotenzen. Du kannst mit Dezimalzahlen und Dezimalbrüchen bedeutend leichter rechnen als mit Bruchzahlen. Jede rationale Zahl läßt sich als Bruchzahl schreiben. Ein Dezimalbruch ist die Summe von Brüchen, deren Nenner Potenzen von 10 sind. Die Zahl 3,75 z.B. ist ein Dezimalbruch. Diese Zahl hat

3 Einer
7 Zehntel  
5 Hundertstel. 

Du kannst die Zahl auch folgendermaßen schreiben:
3,75 = 3 * 1  +  7 * 1/10  +  5 * 1/100.

Und Du kannst einen Dezimalbruch auch als einen gemischten Bruch darstellen:
3,75 = 3  +  7/10  +  5/100 = 3  +   75/100 = 375/100.

Den zu der Bruchzahl 375/100 ursprünglich gehörenden Dezimalbruch erhälst Du, indem Du den Zähler durch den Nenner teilst. Für die Umwandlung von Brüchen in Dezimalbrüche gilt:
3/2 = 1,5
9/4 = 2,05
11/8 = 1,35.


Wie bereits erwähnt, können wir mit Dezimalzahlen leichter rechnen als mit Bruchzahlen. Diese Erkenntnis wird auch bei der Arbeit mit dem Taschenrechner berücksichtigt. Dein Taschenrechner erwartet von Dir Dezimalzahlen als Eingabe. Betrachten wir doch folgende einfache Beispiele, die uns gleichzeitig zum Üben mit dem Rechner dienen:

A. 1,5 + 2,05 = 3.55
 B. 1,5 * 2,05 = 3.075
C. 1,35 + 2,05 = 3.4
       D. 1,35 * 2,05 = 2.7675.


Das Beispiel D zeigt, dass der Taschenrechner uns beim Rechnen mit Dezimalzahlen manchmal viele Stellen nach dem Komma(Punkt) anbietet. Für den täglichen Einsatz reicht es oft aus, nur zwei Stellen hinter dem Komma anzugeben. Auf diese Weise erhalten wir ein brauchbares und sinnvolles Resultat. Für den Fall D wäre das Ergebnis:
" 2.77 "

Für die sogenannte Rundung ist die nach der 5 folgende Zahl, also die nächstfolgende Zahl, von Bedeutung. Bei 0 bis 4 wird abgerundet -- für 5 bis 9 wird aufgerundet. Wegen der Ziffer 7 im Fall D ist also bei uns aufgerundet worden.


In dem folgenden Abschnitt kommen wir zu der für den Taschenrechner typischen Zahlenmenge, den reellen Zahlen.
Bisher sind wir über die natürlichen Zahlen und den ganzen Zahlen zu den rationalen Zahlen gelangt. Im Bereich der rationalen Zahlen können wir addieren, subtrahieren, multiplizieren und dividieren. Im Bereich der rationalen Zahlen können wir aber nicht jede Wurzel ziehen. Diese Aussage gilt zwar nicht für √16 und sie gilt nicht für √25, aber sie gilt für folgende Quadratwurzeln √2 oder √7. Die Zahl √7 ist nämlich kein Bruch. Deshalb müssen wir die rationalen Zahlen durch die so genannten irrationalen Zahlen erweitern. Auf diese Weise erhalten wir die Menge der reellen Zahlen. Die reellen Zahlen bilden die Obermenge von allen von uns hier behandelten Zahlen. Und genau das sind die Zahlen, mit denen der Taschenrechner arbeitet! Er rechnet z.B. mit der Zahl π(Pi), was ja an sich ein Buchstabe des griechischen Alphabets ist. Für den Taschenrechner ist π aber eine Konstante. Diese Konstante tritt bei der Berechnung einer von Kreisen umschlossenen Fläche auf. Pi oder π hat also mindestens zwei unterschiedliche Bedeutungen, einmal als Konstante und einmal als Buchstabe im Alphabet. Wenn Du die Taste "Pi" auf dem Rechner drückst, erscheint im Display: 3.141592654. Gemäß unserer Vereinbarung runden wir den Wert auf die zweite Stelle nach dem Komma. Wir erhalten also: 
" π=3.14 "

was leicht zu merken ist.


Wird eine Zahl immer wieder mit sich selbst malgenommen, so nennt man den entstehenden Ausdruck eine Potenz. Es gilt z.B. 
7 * 7 * 7 =  7³.

Was Potenz genannt wird. 7  ist also eine Potenz und wird 7 hoch 3 gelesen. Hierbei heißt die Zahl 7 Grundzahl(Basis) und die Zahl 3 Hochzahl(Exponent) der Potenz. Die Hochzahl gibt also an, wie oft die Grundzahl mit sich selbst multipliziert werden soll. Beim Rechnen mit Potenzen stellen wir fest, dass die Potenz einer positiven Grundzahl(Basis) immer positiv ist. Die Potenz einer negativen Grundzahl ist für gerade Hochzahlen auch positiv, aber für ungerade Hochzahlen dagegen negativ:
3²  = 9
3³ = 27
-3³ =  -276
6² = 36
6³ = 216
-6³ =  -216

Behalte also: Für uns ist eine mathematische Potenz das Produkt einer Anzahl gleicher Faktoren wie 9 mal 9 mal 9 gleich 729.


Das Wurzelziehen ist die Umkehrung des Potenzierens, denn viele Wurzeln lassen sich auf eine Potenz zurückführen. So kannst Du die Grundzahl 9 aus der Potenz 81 errechnen, indem Du die 2. Wurzel ziehst. Ebenso erhälst Du aus der Potenz 625 die Grundzahl 25, wenn Du die 2. Wurzel ziehst. Auf dem online verfügbaren Taschenrechner stehen anstelle des mathematischen Symbols √ die Buchstaben Sqr. Dabei steht Sqr für das englische Wort square, was mit "Quadrat" übersetzt wird. Das soll "Quadratwurzel" bedeuten. Es gilt:
√4= 2,  da 2² = 4 ist.
√49= 7,  da 7² = 49 ist.
√0,36 = 0,6,  da (0,6)² = 0,36 ist.
weiterhin gilt: √0 = 0.

Die Wurzel von -9, also der Ausdruck √-9 läßt sich nicht lösen, da eine solche Zahl in der Menge der reellen Zahlen nicht definiert ist. Es gibt eben keine reelle Zahl, deren Quadrat -9 ist. Behalte also: Das Berechnen des Wertes einer Wurzel heißt Wurzelziehen und gelingt nur für nicht negative reelle Zahlen.


Die Funktionstasten für x und  x² finden sich auch auf einfachen Rechnern. Ebenso die Funktionstaste für 1/x. Die Zahl 1/x wird der Kehrwert oder der reziproke Wert einer Zahl genannt, was das Gleiche ist. Mit der Funktionstaste 1/x berechnet der Taschenrechner den reziproken Wert der angezeigten Zahl. Zur Übung sollen die folgenden Beispiele mit dem für Dich bereitgestellten Rechner unter Einsatz der Reziproktaste gelöst werden:
1/3 + 1/8 + 1/9 =  [ 3  1/x + 8  1/x + 9  1/x ] = 0,57
und genauso: 1/2,5 + 1/3,6 = 0,68
1/6,5 + 1/5,8 + 1/4,2 = 0,56
1/4 - 1/6,6 = 0,098484... = 0,10.

Für diese Aufgaben haben wir die gebräuchliche Methode, Dezimalstellen zu kürzen, herangezogen. Wir haben das Ergebnis auf zwei Stellen hinter dem Komma gerundet und damit entsprechend dem Wert der vorliegenden Ziffer aufgerundet ( 5 bis 9 ) oder abgerundet ( 0 bis 4 ).

Die umfangreicheren Rechner für wissenschaftliche Arbeiten enthalten auch die Tasten log und ln und die Möglichkeit der entsprechenden Berechnungen. Der vorliegende, für Demonstrationszwecke gedachte Online-Rechner, liefert uns den "Luxus", solche Aufgaben zu lösen, leider nicht. Viele preisgünstige elektronische Taschenrechner aber bieten solchen Service. Für Benutzer dieser Rechner ist der vorliegende Text gedacht.
Log bezeichnet den dekadischen oder gemeinen Logarithmus.. Die Exponentialfunktion:
4² = 16
können wir in eine logarithmische Form umwandeln. Das Ergebnis ist:
log ₄  16 = 2
Dabei heißen 2 der Logarithmus und 16 der Numerus für die Basis 4. Ist nun der Numerus für die Basis 10 und nicht 4, also log so schreibt man anstelle von
log 16 ₁₀ = log 16 oder auch
log ₁₀16 = lg 16
es gilt also:  log = lg.
Ein Taschenrechner liefert uns folgende Ergebnisse:
lg 10 = 1   lg 100 = 2   lg 1000 = 3
lg 16 = 1,2    lg 160 = 2,2    lg 1600 = 3,2
und lg 6 = 0,78
Während lg oder log den dekadischen Logarithmus bezeichnet, steht das mathematische Symbol ln für den natürlichen Logarithmus. Der natürliche Logarithmus ln ist die Kurzform für
log ℯ y  = ln y  (ℯ hier tiefgestellt!).
In diesem Fall ist die Basis nicht 10 sondern e. Der Buchstabe e steht für die bekannte Eulersche Zahl. Ein Taschenrechner zeigt für den auf die zweite Stelle hinter dem Komma gerundeten Wert von e die Zahl 2,72 an. Auf dem Dir zur Verfügung gestellten Online-Rechner ist auch diese Funktion leider nicht verfügbar.

Um mit Deinem Taschenrechner gute Ergebnisse zu erzielen und viel Freude zu haben, solltest Du die folgenden Regeln beachten:
A. Wenn die Batterie Deines Taschenrechners zu schwach ist, kannst Du die Anzeige im Display nicht erkennen und Dein Rechner könnte falsche Ergebnisse liefern.
B. Führe eine "Plausibilitätsbetrachtung" für Dein Resultat durch, so kannst Du die Ergebnisse mit und ohne Rechner vergleichen. Beide dürfen sich nicht zu stark voneinander unterscheiden.
C. Vor Beginn Deiner Eingabe in den Rechner sollten alle Werte auf dem Display und im Speicher gelöscht sein!
D. Studiere die Bedienungsanleitung Deines eigenen elektronischen Taschenrechners sorgfältig, damit Du ihn richtig und optimal einsetzen kannst. Ist Prozentrechnung möglich. Welche Tasten sind doppelt belegt? Ist Klammerung bei den Berechnungen erlaubt? Und schließlich:: "Verrechnet" er sich manchmal auf Grund von Fehlfunktionen? ...


Wenn Du es (immerhin sind es sieben Abschnitte) bis hier geschafft hast. Herzlichen Glückwunsch! Gönne Dir eine Pause zur Entspannung.

Update und Ergänzung im April 2007.